Hilbert 1888 定理的精细化：沿 Veronese 簇分离锥

对于 $n,d\in\mathbb{N}$，半正定（PSD）$(n+1)$ 元 $2d$ 次型（即实系数、$n+1$ 个变量、次数为 $2d$ 的齐次多项式）的锥 $\mathcal{P}_{n+1,2d}$ 包含了可表示为 $(n+1)$ 元 $d$ 次型的有限平方和（SOS）的锥 $\Sigma_{n+1,2d}$。Hilbert 1888 定理指出，$\Sigma_{n+1,2d}=\mathcal{P}_{n+1,2d}$ 仅在 Hilbert 情形 $(n+1,2d)$（其中 $n+1=2$ 或 $2d=2$ 或 $(3,4)$）中成立。对于非 Hilbert 情形，我们在 [GHK] 中通过 Gram 矩阵方法考察了一个特定的锥过滤 \begin{equation} \Sigma_{n+1,2d}=C_0\subseteq \ldots \subseteq C_n \subseteq C_{n+1} \subseteq \ldots \subseteq C_{k(n,d)-n}=\mathcal{P}_{n+1,2d}\end{equation}，该过滤沿包含 Veronese 簇的 $k(n,d)+1-n$ 个射影簇进行。这里，$k(n,d)+1$ 是 $(n+1)$ 元 $d$ 次型实向量空间的维数。特别地，对于 $(3,6)$ 和 $(n+1,2d)_{n\geq 3,d=2,3}$ 的情形，我们计算了严格分离的中间锥（即满足 $\Sigma_{n+1,2d}\subsetneq C_i \subsetneq \mathcal{P}_{n+1,2d}$ 的 $C_i$）的个数 $\mu(n,d)$。在本文中，首先，我们通过识别上述锥过滤中的每一个严格包含关系，将 [GHK] 中的发现推广到任意非 Hilbert 情形。这使我们能够通过计算 $\mu(n,d)$ 来给出 Hilbert 1888 定理的一个精细化。因此，上述锥过滤简化为一个特定的锥子过滤 \begin{equation} \Sigma_{n+1,2d}=C_0^\prime\subsetneq C_1^\prime \subsetneq \ldots \subsetneq C_{\mu(n,d)}^\prime \subsetneq C_{\mu(n,d)+1}^\prime=\mathcal{P}_{n+1,2d} \end{equation}，其中每个包含关系都是严格的。其次，我们证明了每个 $C_i^\prime$，从而每个严格分离的 $C_i$，都不是谱超阴影。