突破加权 $k$-集打包纯局部搜索的局限

我们研究加权 $k$-集打包问题:给定一组集合 $S$,每个集合的基数至多为 $k$,以及一个正权函数 $w:\mathcal{S}\rightarrow\mathbb{Q}_{>0}$,任务是计算一个不相交子集合 $A\subseteq \mathcal{S}$,使其总权值最大。对于 $k\leq 2$,加权 $k$-集打包问题可在多项式时间内求解,但对于 $k\geq 3$,它变为 $NP$-困难的。最近,Neuwohner展示了如何获得 $\frac{k+\epsilon_k}{2}$ 的近似保证,其中 $\lim_{k\rightarrow\infty}\epsilon_k=0$。她进一步表明其结果在渐近意义下是最佳可能的,即任何考虑相对于权函数某固定幂的对数有界大小局部改进算法都无法给出优于 $\frac{k}{2}$ 的近似保证。本文中,我们最终展示如何通过 $\Omega(k)$ 打破加权 $k$-集打包问题 $\frac{k}{2}$ 的阈值。我们通过将局部搜索与用于非加权 $k$-集打包问题的黑盒算法应用于精心选择的子实例相结合来实现这一点。在此过程中,我们成功将一般权值下的近似比与在非加权情形下可实现的近似比联系起来,并对所有 $k\geq 4$ 获得了至多 $\frac{k+1}{2}-2\cdot 10^{-4}$ 的保证。