$2$-$3$-集打包问题及有根 DAG 中最大叶子生成树问题的 $\frac{4}{3}$-近似

加权 $3$-集打包问题定义如下：作为输入，给定一个集合族 $\mathcal{S}$，其中每个集合的基数至多为 $3$ 且带有一个正权值。任务是找到一个不相交的子族使其总权值最大。即便是单位权值的特例也已已知是 NP-hard 的，目前最先进的结果是 Cygan 与 F"urer 和 Yu 给出的 $\frac{4}{3}+\epsilon$-近似。在本文中，我们研究 $2$-$3$-集打包问题，它是无权 $3$-集打包问题的一个推广，其中我们的集合族可包含基数为 $3$ 且权值为 $2$ 的集合，以及基数为 $2$ 且权值为 $1$ 的集合。基于单位权值设置下的最先进工作，我们也为更一般的 $2$-$3$-集打包问题提供了一个 $\frac{4}{3}+\epsilon$-近似。我们认为该结果可作为识别一类权值函数的良好起点，使针对单位权值的技术得以推广。利用 Fernandes 与 Lintzmayer 的一个归约，我们的结果进一步意味着有根有向无环图中最大叶子生成树问题（MLSA）的一个 $\frac{4}{3}+\epsilon$-近似，改进了 Fernandes 与 Lintzmayer 先前已知的 $\frac{7}{5}$-近似。通过利用他们归约中构造的实例的额外结构性质，我们可进一步将 MLSA 的近似保证降至 $\frac{4}{3}$。MLSA 在广播中有应用，其中需要将一条消息从源节点沿着生成树中的弧传输到给定网络中的所有其他节点。