加权贪心匹配的复杂性

出于图中匹配在若干情况下稳定当且仅当其由贪心算法产生这一事实的动机，我们研究在加权图上计算最大权重贪心匹配的问题，称为 GreedyMatching。与已知许多高效算法的最大权重匹配问题形成广泛对比，我们证明 GreedyMatching 是强 NP-hard 且 APX-complete 的，因此除非 P=NP 它不允许 PTAS，即使在最大度至多为 3 且至多三种不同整数边权的图上也是如此。此外我们证明若输入图额外是二部的则 GreedyMatching 是强 NP-hard。而且我们考虑该问题的两个自然参数，为此我们建立了 NP-hardness 与可处理性之间的尖锐阈值行为。在积极一面，我们提出一种用于特殊类加权图（称为灌木图（bush graphs））上 GreedyMatching 的随机近似算法（RGMA）。我们强调 RGMA 与通过随机贪心算法在无权图中近似最大基数匹配之间的意外联系。我们表明，若 RGMA 的近似比为 $\rho$，则对每个 $\epsilon>0$ [Aronson 等, Rand. Struct. Alg. 1995] 的随机 MRG 算法给出最大基数匹配的 $(\rho-\epsilon)$-近似。我们猜想 $\rho$ 的紧界为 $\frac{2}{3}$；我们证明该猜想对灌木图的两个子类成立。证明 MRG 在无权图上的近似比紧界（从而也证明 $\rho$ 的紧值）是一个长期开放问题 [Poloczek and Szegedy; FOCS 2012]。我们的 RGMA 算法与 MRG 算法的这种意外关系可能为解决此问题提供新见解。