正则图中独立集与匹配的随机贪心算法：精确结果与有限围长修正

我们推导了用于在常数度正则图中寻找大型独立集和匹配的简单贪心算法性能的新结果。我们证明，对于具有 $n$ 个节点且围长至少为 $g$ 的 $r$-正则图，该算法找到的独立集的期望基数为 $f(r)n - O\big(\frac{(r-1)^{\frac{g}{2}}}{\frac{g}{2}!} n\big)$，其中 $f(r)$ 是我们显式计算的一个函数。类似的结果也适用于匹配。我们的结果改进了这些图中最大独立集大小的界，并首次给出了此类匹配结果。作为推论，我们表明当度 $r$ 和围长 $g$ 都很大时，贪心算法返回一个近乎完美的匹配。此外，我们证明了在\emph{任意}有界度图中，由贪心算法产生的独立集和匹配的基数集中在均值附近。最后，我们分析了贪心算法在随机 i.i.d.加权独立集和匹配情况下的性能，并获得了一个极其简单的表达式来描述算法产生的极限期望值。事实上，所有其他结果都是加权情况结果的直接推论。