d-爪自由图中最大权独立集问题的改进近似算法

在本文中，我们考虑在给定带正权函数 $w:V\rightarrow\mathbb{R}^+$ 的 $d$-爪自由图 $G=(V,E)$ 中计算最大权独立集的任务。其中 $d\geq 2$ 被视为常数。此前该问题已知最佳的近似算法是由 Berman 提出的局部改进算法 SquareImp。对于任意 $\epsilon>0$，该算法在时间 $\mathcal{O}(|V(G)|^{d+1}\cdot(|V(G)|+|E(G)|)\cdot (d-1)^2\cdot \left(\frac{d}{2\epsilon}+1\right)^2)$ 内达到 $\frac{d}{2}+\epsilon$ 的性能比，且在过去二十年未被改进。通过考虑更广泛的局部改进类，我们以运行时间额外增加因子 $\mathcal{O}(|V(G)|^{(d-1)^2})$ 为代价，对任意 $\epsilon>0$ 获得了 $\frac{d}{2}-\frac{1}{63,700,992}+\epsilon$ 的近似比。特别地，我们的结果意味着一个多项式时间 $\frac{d}{2}$-近似算法。此外，从加权 $k$-集打包问题到 $k+1$-爪自由图中最大权独立集问题的著名归约，为加权 $k$-集打包问题提供了对于任意 $\epsilon>0$ 的 $\frac{k+1}{2}-\frac{1}{63,700,992}+\epsilon$-近似算法。这改进了源自 Berman 结果的此前已知最佳近似保证 $\frac{k+1}{2}+\epsilon$。