$d$-爪自由图中最大权独立集问题的局部搜索极限

我们考虑 $d$-爪自由图中的最大权独立集问题（MWIS），即在给定 $d$-爪自由图 $G=(V,E)$ 及正权函数 $w:V\rightarrow\mathbb{R}_{>0}$ 上计算最大权独立集的任务。对于 $k\geq 1$，$k+1$-爪自由图中的 MWIS 推广了加权 $k$-集打包问题（weighted $k$-Set Packing Problem）。鉴于对于 $k\geq 3$，除非 $P=NP$，该问题不允许多项式时间 $o(\frac{k}{\log k})$-近似，以往大多数针对加权 $k$-集打包与 $d$-爪自由图中 MWIS 的算法都依赖局部搜索。过去二十年里，Berman 的算法 SquareImp 对 $d$-爪自由图中 MWIS 给出 $\frac{d}{2}+\epsilon$-近似，对这两个问题始终未被超越。最近，Neuwohner 对其改进，获得了略低于 $\frac{d}{2}$ 的近似保证，并不可避免地提出了利用局部搜索究竟能走多远的问题。本文最终从渐近意义上回答了该问题：通过考虑对数大小的局部改进，我们在拟多项式时间内对 $d\geq 3$ 的 $d$-爪自由图 MWIS 获得近似比 $\frac{d-1+\epsilon_d}{2}$，其中 $0\leq \epsilon_d\leq 1$ 且 $\lim_{d\rightarrow\infty}\epsilon_d = 0$。通过采用颜色编码技术，我们可以利用前述结果对加权 $k$-集打包获得多项式时间 $\frac{k+\epsilon_{k+1}}{2}$-近似。另一方面，我们给出例子表明，任何考虑关于权函数某次幂 $w^\alpha$（其中 $\alpha\in\mathbb{R}$ 任意但固定）大小为 $\mathcal{O}(\log(|\mathcal{S}|))$ 的局部改进的局部改进算法，对 $k\geq 3$ 的加权 $k$-集打包问题都不能给出优于 $\frac{k}{2}$ 的近似保证。