超越自然线性规划松弛的一致容量 $k$-中值问题

在本文中，我们研究了一致容量 $k$-中值问题。为该问题获得常数近似算法是一个著名的开放性问题；大多数先前的工作要么通过违反容量约束，要么通过违反基数约束给出了常数近似解。值得注意的是，所有这些算法都基于该问题的自然线性规划 (LP) 松弛。即使允许我们以 $2-\epsilon$ 的因子违反容量约束或基数约束，该 LP 松弛仍具有无界的整数间隙。我们的结果是一个针对该问题的 $\exp(O(1/\epsilon^2))$-近似算法，该算法以 $1+\epsilon$ 的因子违反了基数约束。这已经超出了自然 LP 松弛的能力范围，因为即使允许我们开设 $(2-\epsilon)k$ 个设施，它仍具有无界的整数间隙。事实上，我们的结果基于针对该问题的一种新颖 LP。正如我们所描述的版本是该问题的硬容量版本，因为我们在每个位置只能开设一个设施。这与软容量版本相反，在软容量版本中，我们允许在每个位置开设多个设施。我们给出了一个简单的证明，即在一致容量情况下，软容量版本和硬容量版本实际上是等价的，仅在近似比上有微小的常数损失。