均匀硬容量设施选址问题的常数因子近似算法：自然线性规划并非太差

本文首次针对硬均匀容量下的容量背包中位问题（CKM）给出了常数因子近似算法，该算法仅在预算上超出加性因子 $f_{max}$（其中 $f_{max}$ 为最优解所开设设施的最大成本），并在容量上超出 $(2+\epsilon)$ 因子。已知当允许任一约束被违反的因子小于 $2$ 时，该问题的自然线性规划（LP）具有无界的完整性间隙。因此，我们给出的结果非常接近自然 LP 所能达到的最佳水平。据我们所知，该问题此前未被研究过。对于均匀容量的容量设施选址问题，我们提出了一个略微违反容量（$1 + \epsilon$）的常数因子近似算法。尽管在不违反容量的情况下该问题已有常数因子结果，但本结果因通过对自然 LP 的解进行舍入而获得而显得有趣，而已知在不违反容量的情况下自然 LP 具有无界的完整性间隙。因此，我们从自然 LP 中获得了该问题可能的最佳结果。该结果表明自然 LP 并非太差。最后，我们对 \cite{capkmByrkaFRS2013} 中关于容量 $k$-设施选址问题（C$k$FLP）的结果证明提出了一些问题。\cite{capkmByrkaFRS2013} 使用依赖舍入给出了一个违反容量 $(2 + \epsilon)$ 因子的 $O(1/\epsilon^2)$ 近似。我们首先利用我们的技术修正了这些问题。此外，可以论证（确定性的）管道舍入不能替代依赖舍入用于开设设施。我们针对 CKM 的技术为 CkFLP 提供了一个违反容量 $(2 + \epsilon)$ 的常数因子近似。