突破设施选址的 2 LMP 近似壁垒及其在 k-Median 问题中的应用

无容量设施选址（UFL）问题是最基本的聚类问题之一：给定度量空间 $(C \cup F, dist)$ 中的客户集 $C$ 与设施集 $F$，以及设施开启成本 $open : F \to \mathbb{R}^+$，目标是找到设施子集 $S \subseteq F$ 以最小化开启成本 $open(S)$ 与连接成本 $d(S) := \sum_{p \in C} \min_{c \in S} dist(p, c)$ 之和。若某 UFL 算法对任意 $S^* \subseteq F$ 均输出解 $S\subseteq F$ 满足 $open(S) + d(S) \leq open(S^*) + \alpha d(S^*)$，则称其为 Lagrangian 乘子保持（LMP）$\alpha$ 近似算法。基于 Dual-Fitting 技术的 Jain、Mahdian 和 Saberi 的 JMS 算法给出了 UFL 已知最好的 LMP 近似比不超过 $2$。我们提出了一种（略微）改进的 UFL 的 LMP 近似算法。这是通过将 Dual-Fitting 技术与局部搜索（另一种解决聚类问题的流行技术）相结合实现的。从概念角度看，我们的结果提供了理论证据：可通过基于 LP 的技术选择初始可行解来增强局部搜索，从而避免糟糕的局部最优。利用双点解框架，我们的结果直接将 $k$-Median 问题的近似比从 2.6742 略微改进至 2.67059。