容错设施放置问题的改进近似算法

我们研究容错设施放置问题（$FTFP$），这是经典无容量设施选址问题（$UFL$）的推广。在 $FTFP$ 问题中，我们有一个客户集合 $C$ 和一个设施集合 $F$。每个设施 $i \in F$ 可以开设多次。对于设施 $i$ 的每次开设，我们支付 $f_i \geq 0$。我们的目标是将每个客户 $j \in C$ 连接到 $r_j \geq 1$ 个已开设的设施，以最小化已开设设施和已建立连接的总成本。在一系列近期论文中，$FTFP$ 本质上被归约为 $FTFL$，进而归约为 $UFL$，表明其可被以 1.575 的比率近似。在本文中，我们表明 $FTFP$ 实际上可以获得更好的近似。我们将近似比率视为 $r = min_{j \in C} r_j$（客户的最小需求）的函数。随着 $r$ 的增加，我们算法的近似比率 $\lambda_r$ 收敛于 1。此外，对于 $r > 1$，$\lambda_r$ 的值小于 1.463（$UFL$ 的近似难度下界）。我们还展示了对于任意 $r$，容错设施选址问题（$FTFL$）的可近似性下界为 1.278。仅当 $r > 3$ 时，我们就得出 $FTFP$ 可以以 1.275 的比率进行近似，这表明在标准计算复杂性理论假设下，$FTFP$ 的可近似性严格优于 $FTFL$。