带客户延迟的设施选址：基于线性规划的最小延迟问题技术

我们引入了一个问题，它是无容量设施选址和最小延迟（ML）问题的共同推广，其中需要开放设施以服务客户，并且在提供服务之前还需要按顺序激活设施。形式化地，给定包含 $n$ 个设施的集合 $\F$，其设施开放成本为 $\{f_i\}$，包含 $m$ 个客户的集合，指定将客户 $j$ 分配给设施 $i$ 的成本的连接成本 $\{c_{ij}\}$，表示车场的根节点 $r$，以及 $\F\cup\{r\}$ 上的时间度量 $d$。我们的目标是开放设施子集 $F$，寻找从 $r$ 出发并覆盖 $F$ 以激活开放设施的路径 $P$，并将每个客户 $j$ 连接到设施 $\phi(j)\in F$，从而最小化 $\sum_{i\in F}f_i +\sum_{clients j}(c_{\phi(j),j}+t_j)$，其中 $t_j$ 是沿路径 $P$ 到达 $\phi(j)$ 所需的时间。我们称之为最小延迟无容量设施选址（MLUFL）问题。我们的主要结果是为 MLUFL 给出了 $O(\log n\max\{\log n,\log m\})$-近似。我们还证明了该近似保证的任何改进都意味着群 Steiner 树（当前最优）近似因子的改进。对于该问题的两个自然特殊情况，我们获得了常数近似：(a) 相关 MLUFL（连接度量为时间度量的标量倍数）；(b) 度量均匀 MLUFL（度量连接成本，均匀时间度量）。我们基于 LP 的方法具有通用性，易于适配以在各种更一般的设定下给出 MLUFL 的近似保证，例如 在这些设定下，客户的延迟成本是其所连接设施所面临延迟的函数；(ii) $k$-路径版本，其中 $k$ 辆车并行行驶以激活开放设施。我们对 MLUFL 基于 LP 的理解也为 ML 提供了一些基于 LP 的见解，我们相信这是改进 ML 的一个有前景的方向。