一种用于二分度量设施定位的超快分布式算法

\textit{设施定位}问题包含一组\textit{设施} $\mathcal{F}$、一组\textit{客户} $\mathcal{C}$、与每个设施 $x_i$ 关联的\textit{开启成本} $f_i$，以及每个设施 $x_i$ 与客户 $y_j$ 之间的\textit{连接成本} $D(x_i,y_j)$。目标是找到一个设施子集进行\textit{开启}，并将每个客户连接到一个开启的设施，以最小化总设施开启成本与连接成本之和。本文提出了针对 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{C}$ 两部分构成的完全二分网络上\textit{度量}设施定位问题的首个在 $\mathcal{CONGEST}$ 模型下的期望次对数轮次分布式 $O(1)$-近似算法。我们算法的期望运行时间为 $O((\log \log n)^3)$ 轮，其中 $n = |\mathcal{F}| + |\mathcal{C}|$。此结果可视为我们要近期工作 (ICALP 2012) 的延续，在该工作中我们提出了针对\textit{团}网络上度量设施定位问题的首个次对数轮次分布式 $O(1)$-近似算法。二分设置带来了一些团网络问题中不存在的新挑战。我们提出了两种新技术来克服这些挑战。(i) 为了处理因缺乏足够知识而无法选择适当概率的问题，我们设计了一种在概率空间上执行随机游走的算法，并分析了随着随机游走进行算法所取得的进展。(ii) 为了处理在二分网络上快速传播可能包含大量重复的消息集合的问题，我们设计了一种概率哈希方案，能够在期望 $O(\log \log n)$ 轮内交付所有消息。