随机最短路径度量上设施选址的概率分析

设施选址问题是一个 NP-hard 优化问题。因此，常使用近似算法来求解大规模实例。此类算法的表现通常远优于最坏情况分析所暗示的结果。因此，概率分析是分析此类算法的广泛使用的工具。关于涉及度量空间的 NP-hard 优化问题（如设施选址问题）概率分析的大多数研究集中在欧几里得实例上，同时具有独立（随机）边长的非度量实例也得到了研究。我们希望将这一知识扩展到其他更一般的度量上。我们使用随机最短路径度量研究设施选址问题。我们分析了一种为设施选址问题提供解的简单贪心启发式算法的一些概率性质：开设 $\kappa$ 个最便宜的设施（$\kappa$ 仅取决于设施开设成本）。如果设施开设成本使得 $\kappa$ 不太大，我们证明该启发式算法是渐近最优的。另一方面，对于较大的 $\kappa$ 值，分析变得更加困难，我们给出了期望近似比上界的闭式表达式。在所有设施开设成本相等的特殊情况下，如果开设成本足够小，该闭式表达式可简化为 $O(\sqrt[4]{\ln(n)})$ 或 $O(1)$ 甚至 $1+o(1)$。