次模设施选址的 O(loglog n) 近似

在次模设施选址问题 (SFL) 中，给定度量空间中的 $n$ 个客户和 $m$ 个设施。可行解由将每个客户分配给某个设施组成。对于每个客户，必须支付到关联设施的距离。此外，对于分配了客户子集 $S^f$ 的每个设施 $f$，必须支付开设成本 $g(S^f)$，其中 $g(\cdot)$ 是满足 $g(\emptyset)=0$ 的单调次模函数。SFL 是 APX-hard 的，因为它包含了经典的（度量无容量）设施选址问题（具有均匀设施成本）作为特例。Svitkina 和 Tardos [SODA'06] 给出了目前最佳的 SFL $O(\log n)$ 近似算法。同两位作者提出了 SFL 是否允许常数近似的开放问题，并为该问题的一个非常受限的特例提供了这样的近似。我们通过提出 $O(\log\log n)$ 近似在解决上述开放问题方面取得了一些进展。我们的方法相当灵活，可以轻松扩展到 SFL 的推广和变体。更详细地说，对于 SFL 的实际相关的推广，即每个设施 $f$ 的开设成本形式为 $p_f+g(S^f)$ 或 $w_f\cdot g(S^f)$（其中 $p_f,w_f \geq 0$ 是输入值）时，我们实现了相同的近似因子。我们还为相关的通用随机设施选址问题获得了改进的近似算法。在这个问题中，给定一个经典的（度量）设施选址实例，必须先验地将每个客户分配给某个设施。然后从给定分布中抽取活动客户子集，并且只需支付（后验地）由活动客户引起的连接和开设成本。每个设施 $f$ 的预期开设成本可以用分配给 $f$ 的客户集合的次模函数来建模。