基于迭代舍入的带离群点 $k$-中位数与 $k$-均值常数近似

本文针对诸多聚类问题提出一种新的迭代舍入框架。借此，我们获得带离群点的 $k$-中位数的 $(\alpha_1 + \epsilon \leq 7.081 + \epsilon)$ 近似算法，大幅改进了 Chen [Chen, SODA 2018] 较大的隐式常数近似比。对于带离群点的 $k$-均值，我们给出 $(\alpha_2+\epsilon \leq 53.002 + \epsilon)$ 近似，这是该问题的首个 $O(1)$ 近似。该迭代算法框架非常通用；我们展示其如何用于给出拟阵与背包中位数问题的 $\alpha_1$ 与 $(\alpha_1 + \epsilon)$ 近似算法，改进了先前最佳的 $8$ [Swamy, ACM Trans. Algorithms] 与 $17.46$ [Byrka et al, ESA 2015] 近似比。带离群点的 $k$-中位数/$k$-均值问题的自然 LP 松弛具有无界积分间隙。尽管有此负面结果，我们的迭代舍入框架表明，可将 LP 解舍入为低代价的几乎整数解，其中至多有两个分数开启设施。因此，LP 积分间隙源于几乎整数与完全整数解之间的差距。随后，利用预处理过程，我们展示如何将几乎整数解转换为完全整数解，仅在近似比中损失常数因子。进一步利用稀疏化技术，该转换所产生的加性因子损失可减至任意 $\epsilon > 0$。