倍增度量下（含离群点的）聚类的 $\varepsilon$-核集

我们研究在倍增度量 $M(X, d)$ 中为 $(k, z)$-聚类问题构造 $\varepsilon$-核集的问题。$\varepsilon$-核集是一个加权子集 $S\subseteq X$ 及权函数 $w : S \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$，使得对任意 $k$-子集 $C \in [X]^k$，均有 $\sum_{x \in S}{w(x) \cdot d^z(x, C)} \in (1 \pm \varepsilon) \cdot \sum_{x \in X}{d^z(x, C)}$。我们提出一种高效算法，在 $M(X, d)$ 中为 $(k, z)$-聚类问题构造 $\varepsilon$-核集，其中核集的大小仅依赖于参数 $k, z, \varepsilon$ 与倍增维数 $\mathsf{ddim}(M)$。据我们所知，这是首个大小独立于 $|X|$ 的、针对倍增度量中一般聚类问题的高效 $\varepsilon$-核集构造。为此，我们建立了 $M(X, d)$ 的倍增维数与由距离 $d$ 诱导的范围空间的分裂维数（或 VC 维数）之间的首个关系。此前未知此种关系，因为人们可轻易构造出两者均不能被（另一者的某函数）所界定的实例。令人惊讶的是，我们证明若允许距离函数 $d$ 有小的 $(1\pm\epsilon)$-畸变，并考虑 $\tau$-误差概率分裂维数的概念，则即使对加权倍增度量，我们也能证明概率分裂维数的上界为 $O( \mathsf{ddim}(M)\cdot \log(1/\varepsilon) +\log\log{\frac{1}{\tau}} )$。我们相信这一新关系具有独立意义并可能有其他应用。我们还研究了倍增度量中的鲁棒核集与质心集。我们的鲁棒核集构造带来了聚类与性质测试的新结果，而质心集可用于加速聚类问题的局部搜索算法。