线段 k 均值聚类的线性时间小核心集

我们研究了一组 $\mathcal{S} \subseteq \mathbb{R}^d$ 中 $n$ 条线段的 $k$ 均值问题，旨在找到 $k$ 个中心 $X \subseteq \mathbb{R}^d$ 以最小化 $D(\mathcal{S},X) := \sum_{S \in \mathcal{S}} \min_{x \in X} D(S,x)$，其中 $D(S,x) := \int_{p \in S} |p - x| dp$ 测量从每条线段上每一点到中心的总距离。此问题的变体包括处理异常值、采用如 M-估计器等替代距离函数、加权距离以实现聚类平衡，或强制唯一的聚类分配。对于任意 $\varepsilon > 0$，$\varepsilon$ 核心集是一组加权子集 $C \subseteq \mathbb{R}^d$，其在任意 $k$ 个中心集合下近似 $D(\mathcal{S},X)$ 的误差在 $1 \pm \varepsilon$ 范围内。我们提出了第一个能够处理任意输入线段的核心集构建方法。对于常数 $k$ 和 $\varepsilon$，它产生大小为 $O(\log^2 n)$ 的核心集，可在 $O(nd)$ 时间内计算。实验，包括一个实时视频跟踪应用，显示在保持聚类准确性的同时实现了显著的加速，确认了本方法的实际效率和理论保证。