带离群点的容错$k$-设施选址问题

我们给出容错$k$-设施选址带离群点($\mathsf{F}k\mathsf{SO}$)问题的近似算法。该问题是两个已知问题——带离群点的$k$-设施选址和容错$k$-设施选址——的通用推广,而二者各自推广了著名的$k$-设施选址问题。在$k$-设施选址问题中,目标是从一组可能设施$F$中开设$k$个设施以服务$n$个客户$C$;目标函数是任一客户访问已开设施所需的最远距离。在$\mathsf{F}k\mathsf{SO}$中,每个客户$v$具有容错度$\ell_v$,且需要$\ell_v$个设施为其服务;因此每个客户$v$对目标函数的贡献变为其到第$\ell_v^{\text{th}}$近已开设施的距离。此外,我们可选取$m$个将被服务的客户,仅这些客户贡献于目标函数,其余$n-m$个被视为离群点。我们的主要结果是$\mathsf{F}k\mathsf{SO}$问题的$\min\{4t-1,2^t+1\}$-近似,其中$t$为实例中出现的不同$\ell_v$值的数量。当$t=1$,即$\ell_v$统一为某$\ell$时,得到$3$-近似,改进了Inamdar与Varadarajan [2020]针对均匀情形给出的$11$-近似(他们亦引入了该问题)。我们对均匀情形的结果匹配了$k$-设施选址、带离群点的$k$-设施选址和容错$k$-设施选址中存在的紧$3$-近似。我们的关键技术贡献是将round-or-cut模式应用于$\mathsf{F}k\mathsf{SO}$。在LP松弛指导下,我们归约到一个更简单的优化问题,可求解之以为“round”步骤获得距离界,并为“cut”步骤获得有效不等式。