带异常值且容错的序贯 $k$-中值问题

在本文中，我们研究有序 $k$-中值的两个自然推广，即鲁棒有序 $k$-中值和容错有序 $k$-中值。在有序 $k$-中值中，给定有限度量空间 $(X,d)$，我们寻求开放 $k$ 个设施 $S\subseteq X$，其诱导出服务代价向量 $\vec{c}=\{d(j,S):j\in X\}$，并最小化有序目标 $w^\top\vec{c}^\downarrow$。这里 $d(j,S)=\min_{i\in S}d(j,i)$ 是 $j$ 与 $S$ 中设施之间的最小距离，$w\in\mathbb{R}^{|X|}$ 是给定的非增非负向量，$\vec{c}^\downarrow$ 是 $\vec{c}$ 的非增排序版本。当前最佳结果是 $(5+\epsilon)$-近似 [CS19]。我们首先考虑鲁棒有序 $k$-中值，亦称带异常值的有序 $k$-中值，其输入包含一个有序 $k$-中值实例和参数 $m\in\mathbb{Z}_+$。目标是开放 $k$ 个设施 $S$，选取 $m$ 个客户 $T\subseteq X$ 并为每个 $j\in T$ 分配最近的开设施。服务代价向量为 $\vec{c}=\{d(j,S):j\in T\}$ 且 $w\in\mathbb{R}^m$。我们引入了一个新颖而简单的目标函数，使得能对非线性有序目标进行线性分析，应用迭代舍入框架 [KLS18] 并获得了常数因子近似。我们利用相同方法设计了有序拟阵中值和有序背包中值的首个常数近似算法。我们还考虑容错有序 $k$-中值，其中除与有序 $k$-中值相同的输入外，还给定额外的客户需求 $\{r_j\in\mathbb{Z}_+:j\in X\}$，并需要为每个客户 $j\in X$ 分配 $r_j$ 个不同的开设施。客户 $j$ 的服务代价是其到所分配设施的距离之和，目标相同。我们通过一种新颖的 LP 松弛获得了常数因子近似，该松弛的约束由一种新的稀疏化技术生成。