区分 k-中位问题与其供应者版本

给定一个度量空间 $(V, d)$ 和一个整数 $k$，$k$-中位问题要求开设 $k$ 个中心 $C \subseteq V$ 以最小化 $\sum_{v \in V} d(v, C)$，其中 $d(v, C) := \min_{c \in C} d(v, c)$。虽然已知的最佳近似比 $2.613$ 适用于更一般的供应者版本，该版本中给出了一个额外的集合 $F \subseteq V$ 并限制 $C \subseteq F$，但这两个版本已知的难度分别为 $1+1/e \approx 1.36$ 和 $1+2/e \approx 1.73$，两者均使用来自最大 $k$-覆盖的相同归约。我们证明了以下两个结果来区分它们。首先，我们展示了一个 $1.546$-参数化近似算法，其运行时间为 $f(k) n^{O(1)}$。由于 $1+2/e$ 已被证明是参数化设置下供应者版本的最优近似比，这一结果将原始的 $k$-中位问题与供应者版本区分开来。其次，我们证明了在唯一游戏猜想下，多项式时间算法的 $1.416$-难度。这是通过针对小集合规模的最大 $k$-覆盖的新细粒度难度实现的。我们的上界和下界几乎源自相同的表达式，唯一的区别来自于线性规划（LP）和半定规划（SDP）在（超图）顶点覆盖问题上能力的已知分离。