带下界的快速聚类：没有客户太远，没有店铺太小

我们研究了 \LowerBoundedCenter (\lbc) 问题，这是一个可视为 \kCenter 问题变体的聚类问题。在 \lbc 问题中，给定度量空间中的一组点 $P$ 和一个下界 $\lambda$，目标是选择一组中心 $C \subseteq P$ 并将 $P$ 中的每个点映射到 $C$ 中的一个中心，使得 $C$ 中的每个中心至少被分配 $\lambda$ 个点。分配方案的代价是点与其被分配中心之间的最大距离，目标是找到具有最小代价的中心集和分配方案。我们提出了一种针对 \lbc 问题的常数因子近似算法，当输入点位于 $d$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^d$（其中 $d$ 为常数）时，该算法的运行时间为 $O(n \log n)$。我们还证明，除非 $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$，否则即使输入点是欧几里得平面 $\mathbb{R}^2$ 中的点，该问题也无法在 $1.8-\epsilon$ 因子内得到近似。