Bessenrodt-Ono 不等式的多项式化

本文遵循吉安-卡洛·罗塔（Gian-Carlo Rota）关于从多项式根的角度研究组合与数论问题的建议，探讨 Bessenrodt--Ono 不等式的推广。我们将 $n$ 的 $k$-染色划分数视为多项式 $P_n(x)$ 的特值。我们证明对所有实数 $x >2$ 以及 $a,b \in \mathbb{N}$ 且 $a+b >2$，不等式成立：\begin{equation*} P_a(x) \, \cdot \, P_b(x) > P_{a+b}(x). \end{equation*} 我们证明对 $x \geq 1$ 有 $P_n(x) < P_{n+1}(x)$，这推广了 $p(n) < p(n+1)$，其中 $p(n)$ 表示划分数。最后，我们观察到对小数值情况可能相反，例如：$P_2(-3+ \sqrt{10}) = P_{3}(-3 + \sqrt{10})$。