超分拆函数 Liu-Zhang 不等式的多项式化

令 $\overline{p}(n)$ 表示超分拆函数。Liu 与 Zhang 利用 Engle 的一个解析结果证明了对于所有整数 $a,b>1$ 有 $\overline{p}(a) \overline{p}(b)>\overline{p}(a+b)$。本文中我们给出 Liu-Zhang 不等式的一个组合证明。更确切地说，受多项式 $P_{n}(x)$ 的启发——其推广了 $k$ 色分拆函数 $p_{-k}(n)$——我们引入多项式 $\overline{P}_{n}(x)$，其以 $n$ 的 $k$ 色超分拆数作为特值。通过结合组合与解析方法，我们得到对于所有正整数 $a,b$ 和实数 $x \ge 1$，除 $(a,b,x)=(1,1,1),(2,1,1),(1,2,1)$ 外，有 $\overline{P}_{a}(x) \overline{P}_{b}(x)>\overline{P}_{a+b}(x)$。