Bures-Hall 系综与 Cauchy-Laguerre 双矩阵模型的间隙概率

Bures 度量及相关的 Bures-Hall 测度可以说是研究量子力学密度矩阵谱且在无系统先验知识时的最佳选择。我们利用该 Pfaffian 点过程与二维 Cauchy-Laguerre 双正交多项式系统(现以两个变量 $s,t$ 变形)的行列式点过程中的相关问题之间的联系,研究该模型谱中在底部 $[0,s)$ 或顶部 $(s,1]$ 出现间隙的概率。为此,我们针对比 Laguerre 密度更一般的一类权函数发展了关于 Cauchy 双正交多项式系统的新的一般性结果:特别是多项式及其关联函数的新的 Christoffel-Darboux 公式、再生核和微分方程。该系统最简表达为秩-3 矩阵变量,并拥有一个相伴的三线性形式。此外,在专门针对与该 Cauchy-Laguerre 系统直接相关的截断 Laguerre 型权密度时,我们构造了关于两个变形变量 $s,t$ 的受限非线性微分方程的封闭系统,并观察到递推、谱和变形导数结构形成了一个相容且可积的三元 Lax 方程。