对偶性、双正交多项式与多矩阵模型

耦合随机矩阵对的本征值统计分布可用积分核表示，这些核由双正交多项式序列构造，具有广义 Christoffel--Darboux 形式。对于涉及两个不同变量中一对多项式 V_1、V_2 的指数测度，这些核可用有限维“窗口”表示，窗口由长度等于多项式 V_1、V_2 之一的次数的有限子序列张成。此类子序列构成的向量满足具有多项式系数的“对偶对”一阶线性微分方程组，其秩等于 V_1 或 V_2 的次数之一，次数等于另一个。它们还满足连接相邻窗口的递推关系，以及确定其在多项式 V_1 和 V_2 系数变化下如何改变的形变方程。视其为超定线性差分-微分-形变方程组，可证其相容，从而允许同时存在基本解系。主要结果是证明了谱对偶性性质；即定义对偶微分系统的矩阵对的特征方程所给出的谱曲线在交换本征值与多项式参数后相等。