涉及第二 Painlevé 超越函数的 Fredholm 行列式的渐近性

我们研究可积 Fredholm 算子 $K_{\textnormal{PII}}$ 的行列式 $\det(I-K_{\textnormal{PII}})$，该算子作用于区间 $(-s,s)$ 上，其核由与第二 Painlevé 方程的 Hastings-McLeod 解相关的 $\Psi$-函数构造而成。该 Fredholm 行列式描述了从酉系综（Unitary Ensemble）中选取的随机 Hermitian 矩阵在极限平均本征值密度的二次零点附近的体双标度极限（bulk double scaling limit）中本征值间隙概率的临界行为。利用 Riemann-Hilbert 方法，我们评估了 $\det(I-K_{\textnormal{PII}})$ 的大 $s$ 渐近性。