Painlevé III与Hermite随机矩阵系综中的奇异线性统计量 I

本文研究酉Laguerre系综中的某个线性统计量，其动机部分源于有限温度下的可积量子场论。结果表明，这等价于刻画关于权函数$$w(x)=w(x,s):=x^{\al}\rme^{-x}\rme^{-s/x}, \quad 0\leq x<\infty, \al>0, s>0,$$正交的多项式序列，即确定相关的Hankel行列式和递推系数。这里$w(x,s)$是Laguerre权函数$x^{\al}\:\rme^{-x}$被乘性因子$\rme^{-s/x}$“扰动”后的形式，该因子在原点处引入了无穷强零点。对于单位圆上的正交多项式，Pollazcek和Szegő多年前研究过一个存在显式公式的特例，其权函数具有无穷强零点。由于违反了Szegő条件，此类权函数被称为“奇异”或不规则权函数。在我们的问题中，线性统计量是正随机变量$\{x_j:j=1,..,,n\}$的倒数之和：$\sum_{j=1}^{n}1/x_j$。我们证明，该线性统计量的矩生成函数（或概率密度函数的Laplace变换）可表示为Hankel行列式之比，以及一个特定第三Painlevé函数组合的积分。