高斯酉系综的渐近展开

设 g:{\mathbb R} --> {\mathbb C} 是一个所有导数均有界的 C^{\infty} 函数，并设 tr_n 表示 n x n 矩阵上的归一化迹。在论文 [EM] 中，Ercolani 和 McLaughlin 对相当一般的一类随机矩阵 X_n（包括高斯酉系综（GUE））建立了均值 E{tr_n(g(X_n))} 的渐近展开。在本文中，我们使用一种分析方法，为 GUE 情形下的该渐近展开提供了另一种证明。具体而言，对于 GUE 随机矩阵 X_n，我们推导出 E{tr_n(g(X_n))}= \frac{1}{2\pi}\int_{-2}^2 g(x)\sqrt{4-x^2} dx +\sum_{j=1}^k\frac{\alpha_j(g)}{n^{2j}}+ O(n^{-2k-2})，其中 k 为任意正整数。将 \alpha_j(g)（j\in{\mathbb N}）视为 g 的映射，我们将其确定为分布（在 L. Schwartz 的意义下）。我们针对协方差 Cov{Tr_n[f(X_n)],Tr_n[g(X_n)]} 推导了类似的渐近展开，其中 f 是与 g 同类的函数，且 Tr_n=n tr_n。我们特别关注了 g(x)=1/(z-x) 且 f(x)=1/(w-x)（其中 z 和 w 为非实数复数）的情形。在这种情形下，上述考虑的均值和协方差分别对应于 GUE(n,1/n) 的一维和二维柯西（或斯蒂尔杰斯）变换。