Wishart 型随机矩阵乘积的渐近分布

我们利用自由概率论和带色标记非交叉划分的组合学，研究了形式为 $BB^{*}$ 的大维随机矩阵的渐近分布，其中 $B$ 是 $p$ 个矩形随机矩阵的乘积。这些矩阵取自独立厄米随机矩阵族 $\mathcal{Y}$ 的非对角块集合，该族矩阵渐近自由、相对于确定性对角矩阵族渐近自由，且其范数几乎必然一致有界。该类包括酉不变厄米随机矩阵，其极限分布由实轴上紧支撑的概率测度 $\nu$ 给出。我们将极限矩表示为带色标记非交叉对分划，并根据 $\nu$ 的偶数自由累积量和块的渐近维度（高斯化）赋予权重。对于 $p$ 个独立块的乘积，我们表明极限矩是一类称为广义多元 Fuss-Narayana 多项式的新多项式族的线性组合。反过来，同一矩阵的两个块的乘积则导出了一个具有缩放 Raney 数的例子。