狄利克雷马尔可夫系综

我们为 $n\times n$ 马尔可夫矩阵的多胞形赋予 $\mathbb{R}^{n^2}$ 的勒贝格测度的归一化迹。该概率空间提供了随机马尔可夫矩阵，其行独立同分布，服从均值为 $(1/n,...,1/n)$ 的狄利克雷分布。我们表明，如果 $\bM$ 是这样的随机矩阵，那么由$\sqrt{n} \bM$ 的奇异值构建的经验分布在 $n\to\infty$ 时趋向于维格纳四分之一圆分布。一些计算机模拟揭示了此类随机矩阵引人注目的渐近谱性质，仍有待严格的数学分析。特别是，我们相信以概率 1，$\sqrt{n} \bM$ 复谱的经验分布在 $n\to\infty$ 时趋向于复平面单位圆盘上的均匀分布，此外，当 $n$ 很大时，$\bM$ 的谱隙量级为 $1-1/\sqrt{n}$。