泛体积保持与辛系统的李雅普诺夫指数

我们证明，$C^1$ 体积保持微分同胚的积分李雅普诺夫指数仅在相应的 Oseledets 分裂是平凡的（所有李雅普诺夫指数等于零）或在几乎处处是受控的（射影丛中的一致双曲性）时，才在给定微分同胚处同时连续。我们推导出任意紧流形上泛体积保持微分同胚的一个尖锐二分法：几乎每条轨道要么是射影双曲的，要么所有李雅普诺夫指数等于零。类似地，对于任意紧流形上所有 $C^1$ 辛微分同胚的一个剩余子集，该微分同胚要么是 Anosov 的，要么几乎每一点以至少 2 的重数将零作为李雅普诺夫指数。最后，给定任意闭群 $G \subset GL(d,\mathrm{R})$ 在射影空间上传递作用，对于任意紧空间上任意保测同胚之上的所有连续 $G$ 值上循环的剩余子集，Oseledets 分裂要么是受控的，要么是平凡的。