矩阵乘积的李雅普诺夫指数计算

对于给定的 $m$ 个方阵 $A_0, A_1, \cdots, A_{m-1}$（$m\ge 2$），其中假设有一个矩阵的秩为 $1$，并且对于给定的序列 $(\omega_n)$ 属于 $\{0,1, \cdots, m-1\}^\mathbb{N}$，如果以下极限存在：$$L(\omega):=\lim_{n\to \infty} \frac 1n \log \|A_{\omega_0} A_{\omega_2}\cdots A_{\omega_{n-1}}\|$$ 则定义了矩阵序列 $(A_{\omega_n})_{n\ge 0}$ 的李雅普诺夫指数。本文证明了在某些条件下，李雅普诺夫指数 $L(\omega)$ 具有闭式表达式。一种特殊情况是当 $A_j$ 非负且 $\omega$ 关于某个平移不变测度是通用的；第二种特殊情况是当 $A_j$（对于 $1\le j<m$）可逆且 $\omega$ 关于某个平移遍历测度是典型点。文中考虑了代换序列和 $\mathcal{B}$-自由整数的特征序列作为例子。给出了加权 Birkhoff 平均的多重分形谱计算的一个应用。