正指数自相似碎片过程中最大碎片的分析

我们研究具有分散度测度 $\nu$ 和自相似指数 $\alpha > 0$ 的自相似碎片过程. 设 $e^{-m_t}$ 表示时间 $t \geq 0$ 时最大碎片的大小. 对于满足正则条件 $\nu(1 - s_1 > \delta) = \delta^{-\theta} \ell(1/\delta)$ 的分散度测度，其中 $\theta \in [0,1)$ 且 $\ell$ 为慢变函数，我们证明几乎必然收敛\n$$\lim_{t \to \infty} (m_t - g(t)) = 0,$$\n其中 $g(t) = (\log t - (1 - \theta) \log \log t + f(t))/\alpha$，且 $f(t) = o(\log \log t)$ 为可由 $\ell$ 和 $\theta$ 明确描述的次要修正项。我们的结果大幅提升了 Bertoin 关于一般自相似碎片过程的最佳先前结果，即 $m_t = (1+o(1)) \log (t)/\alpha$。