k-正则自相似碎裂中最大与最小碎片的尖锐集中性

我们研究 $k$-正则自相似碎裂过程的渐近性。对于 $\alpha > 0$ 和整数 $k \geq 2$，这是一个在 $[0,1)$ 中开子集的并集中的 Markov 过程 $(I_t)_{t \geq 0}$，且 $I_t$ 的每个大小为 $u$ 的子区间独立地以速率 $u^\alpha$ 断裂成 $k$ 个等大的片段。令 $k^{ - m_t}$ 和 $k^{ - M_t}$ 分别为 $I_t$ 中最大和最小碎片的大小。通过将 $(I_t)_{t \geq 0}$ 与分支随机游动相关联，我们发现存在显式的确定性函数 $g(t)$ 和 $h(t)$，使得对所有足够大的 $t$ 有 $|m_t - g(t)| \leq 1$ 和 $|M_t - h(t)| \leq 1$。此外，对每个 $n$，我们研究大小为 $k^{-n}$ 的碎片存在的最后时刻。特别地，通过将我们的分支随机游动与某点过程相关联，我们表明在适当重标度后，这些时刻的分布当 $n \to \infty$ 时收敛到 Gumbel 分布。