某些$\beta$-合并过程的最小分支大小及相关泛函的渐近性

本文展示了当$n$趋于无穷大时，参数为$1<\alpha<2$的 Beta$(2-\alpha,\alpha)$ $n$-合并过程中各种泛函分布的渐近性。该过程是一个马尔可夫过程，取值于集合$\{1, \dots, n\}$的划分，从初始值$\{1\},\cdots, \{n\}$开始，通过将块合并为一个而演化，最终达到吸收态$\{1, \dots, n\}$。$1$的最小分支是指在单点集$\{1\}$发生合并的时刻包含$1$的那个块。文中给出了$1$的最小分支的极限大小。为此，我们将其表示为$\{1\}$的合并时间及该时刻块大小的函数。此外，还研究了另一个关于最大块大小的量（分别在确定的小时间和$\{1\}$的合并时刻）。