临界 Beta 分裂随机树 IV：叶高度的 Mellin 分析

David Aldous; Svante Janson

临界 Beta 分裂随机树 IV：叶高度的 Mellin 分析

概率论 2024-12-18 v1 复变函数

作者: David Aldous , Svante Janson

摘要

在随机 $n$ 叶有根树的临界 beta 分裂模型中，进化支被递归地分裂为子进化支，而包含 $m$ 个叶子的进化支以正比于 $1/(i(m-i))$ 的概率被分裂为分别包含 $i$ 和 $m-i$ 个叶子的子进化支。均匀随机叶子的高度可以表示为某个“调和下降”马尔可夫链的吸收时间。近期关于这些高度 $D_n$ 和 $L_n$ （对应于树的离散或连续版本）的研究，基于其马尔可夫链描述，得出了相当精确的渐近分布表达式。本文基于 Haas 等人 (2008) 风格的可交换随机划分所描述的 $n \to \infty$ 极限树结构，给出了更为精确的表达式。在此结构内，矩的计算导出了 Mellin 变换的表达式，随后通过 Mellin 反演，我们获得了关于 $D_n$ 的期望、方差、正态近似和大偏差行为的精确估计。

关键词

Beta 分裂随机树 Mellin 变换叶高度马尔可夫链渐近分布

引用

@article{arxiv.2412.12319,
  title  = {The Critical Beta-splitting Random Tree IV: Mellin analysis of Leaf Height},
  author = {David Aldous and Svante Janson},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2412.12319},
  year   = {2024}
}

备注

This article, intended for journal publication, is a sequel to arXiv:2412.09655 and has some overlap with that article in the introduction; also some overlap with arXiv:2303.02529, which is an ongoing overview of a broad program, not intended for publication in current form

临界 Beta 分裂随机树 IV：叶高度的 Mellin 分析

摘要

关键词

引用

备注

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