调和下降链的渐近性及其在临界 beta 分裂树中的应用

受与 Aldous 引入的系统发育树概率模型之间联系的启发，我们研究了由规则 $x_n = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{h_{n-1}(n-i)} x_i$ 支配的递归序列，其中 $h_{n-1} = \sum_{j=1}^{n-1} 1/j$，被称为调和下降链。虽然已知该序列收敛于一个显式极限 $x$，但关于其收敛速度知之甚少。我们首先证明包含上述序列在内的一类递归序列是递减的，并利用此性质来界定收敛速度。此外，对于调和下降链，我们证明了渐近性 $x_n - x = n^{-\gamma_* + o(1)}$，其中 $\gamma_*$ 为隐式指数。作为推论，我们推导出了临界 beta 分裂随机树的各种统计量的中心极限定理。这回答了 Aldous、Janson 和 Pittel 的若干问题。