临界 Beta 分裂随机树 III：交换性分区表示与边缘树
概率论
2024-12-16 v1 组合数学
摘要
在 n 叶根树的临界 beta 分裂模型中，clade 递归地分为子-clade，一个包含 m 个叶子的 clade 被分为包含 i 和 m-i 个叶子的子-clade，概率比例为 1/(i(m-i))。该模型结构理论和显式定量方面的研究是一个活跃的研究主题。显然，许多结果有不同的证明方法， elsewhere（通过递归分析和通过 Mellin 变换）对分析证明进行了详细研究。本文描述了两种核心概率方法，用于研究 n → ∞ 时基本有限 n 叶模型的渐近行为。（i）存在一种对 n 叶具有实数边长的随机树 CTCS(n) 的标准嵌入，该模型被证明更方便于研究。该模型 (CTCS(n), n ≥ 2) 在“随机删除叶子并修剪”操作下是一致的。这导致了 (CTCS(n), n ≥ 2) 作为 n 增大的显式归纳构造（growth algorithm），然后导致一个可以用交换性分区形式化的极限结构 CTCS(∞)，以某种方式类似于 Brownian 连续随机树。（ii）存在对极限边缘分布的显式描述，相对于随机叶子，其图形表示本质上是生物学树系图表示的格式。
引用
@article{arxiv.2412.09655,
title = {The Critical Beta-splitting Random Tree III: The exchangeable partition representation and the fringe tree},
author = {David J. Aldous and Svante Janson},
journal= {arXiv preprint arXiv:2412.09655},
year = {2024}
}
备注
This article, intended for journal publication, has substantial overlap with arxiv:2303.02529, which is an ongoing overview of a broad program, not intended for publication in current form