二叉树最深叶节点的分布

我们通过研究最深叶节点的分布来探讨平面二叉树在极端局部结构方面的特征。我们首先回答两个基本问题：(i) 正好出现两个叶节点位于最深层的渐近概率，以及 (ii) 该层叶节点的渐近平均数量。这些问题导致通过准逻辑递推关系引出生成函数。我们展示了两个相关系列都具有主奇点 $\rho=1/4$，并接受平方根奇点展开。通过对截断误差的临界缩放范式进行三区支配收敛分析，我们获得了奇点项。我们随后将框架扩展到推导最深叶节点数量的完整极限分布。对恰好 $2m$ 个最深叶节点的树进行计数可得一系列微分方程，这些方程简化为成功的多项式积分。将这些参数编码到双变量生成函数中，将非线性动力学转换回 Catalan 递归。使用连续迭代理论和与阿贝尔方程相关的 Fatou 坐标，我们获得描述分布的函数方程。最终，奇点分析意味着概率严格呈指数尾部：拥有 $2m$ 个最深叶节点的概率满足 $\kappa[m]\sim 4^{-m+1}$。数值计算给出最深叶节点的平均数量为 $\hat{\kappa}\approx 2.8037$，而恰好两个最深叶节点的概率为 $\kappa\approx 0.7009$。