关于聚合过程成核时间的渐近分布

在本文中，我们研究了一个描述聚合过程时间演化的随机模型。聚合物是由若干称为单体的基本子单元聚集而成的大分子。聚合物可通过单体的添加而增长，也可分裂为若干聚合物。系统的初始状态主要由单体构成。我们研究聚合物质量的时间演化，特别是单体被用于聚合物的比例超过某正阈值 $\delta$ 的首个时刻的渐近分布。采用以质量 $N$ 为标度参数的标度方法。本文所用的数学模型包含{\em 成核性质}：若 $n_c$ 定义为核的尺寸，则尺寸小于 $n_c$ 的聚合物会快速碎裂为更小的聚合物，其速率与某非减且无界函数 $\Phi$ 成正比 $\Phi(N)$。对于尺寸大于 $n_c$ 的聚合物，仍会发生碎裂，但速率为有界。若 $T^N$ 为首个尺寸为 $n_c$ 的聚合物产生的时刻，则表明在适当条件下，变量 $T^N{/}[\Phi(N)^{n_c{-}2}{/}N]$ 依分布收敛，且单体聚合比例达到 $\delta$ 的首个时刻 $L_\delta^N$ 具有同阶量级。该模型所证明的一个新颖特征是变量 $T^N$ 的显著变异性。这是生物实验中观测到的已知现象，但文献中鲜有数学模型具备此性质。结果通过对相应马尔可夫过程在快时间尺度上某些泛函的占据测度的系列技术估计并借助耦合技术得以证明。