一类正则 $\Xi$-并合过程的尺度极限

初始状态为 $n$ 的块计数过程统计一个可交换并合过程（$\Xi$-并合过程）限制在大小为 $n$ 的样本上的块数。本文给出了保持无穷的正则 $\Xi$-并合过程的块计数过程的尺度极限，包括带尘埃的 $\Xi$-并合过程以及一大类无尘埃 $\Xi$-并合过程。主要收敛结果表明，适当对数尺度化的块计数过程在 Skorohod 空间中当 $n$ 趋于无穷时收敛到一类 Ornstein--Uhlenbeck 型过程。此种尺度化的存在依赖于文献中熟知的一特定函数的某种曲率条件。该曲率条件与测度 $\Xi$ 在原点附近的行为本质相关。证明方法是证明相关生成元的均匀收敛。借助 Siegmund 对偶性，我们给出了固定 lineage 的类似结果。文中研究了若干例子。