自无穷降落的 Beta 凝聚过程的流体动力学极限

我们量化了参数为 $a\in (0, 1),$ $b>0$ 的 beta 凝聚过程 $\Pi=\{ \Pi(t), t\geq 0\}$ 从无穷降落的方式。用其对 $[n]\:= \{1, \ldots, n\}$ 的限制 $\Pi^n$ 逼近 $\Pi$，适当重标度的块计数过程 $n^{-1}\#\Pi^n(tn^{a-1})$ 当 $n\to\infty$ 时具有确定性极限 $c(t)$。定理 1 给出了 $c(t)$ 的显式公式。块大小谱 $(\mathfrak{c}_{1}\Pi^n(t), \ldots, \mathfrak{c}_{n}\Pi^n(t))$（其中 $\mathfrak{c}_{i}\Pi^n(t)$ 计数 $\Pi^n(t)$ 中大小为 $i$ 的块的数量）捕获了关于对应于 $\Pi$ 的凝聚树的更精细信息。使用相应的重标度，块大小谱当 $n\to\infty$ 时也收敛到确定性极限。该极限由一组常微分方程刻画，其第 $i$ 个解是一个完全 Bell 多项式，仅依赖于 $c(t)$ 和 $a$，我们显式算出，见推论 1。