关于带对数相互作用的 Dean-Kawasaki 型方程的粒子逼近

我们考虑 $\mathbb{T}$ 上的一类带对数排斥相互作用的 Dean-Kawasaki 型方程,该相互作用依赖于逆温度 $\beta$,并采用一种新的噪声部分谱逼近,其近似地刻画了 $\mathbb{P}(\mathbb{T})$ 中的 Otto 度量。遵循在 Wasserstein 空间上内禀构造布朗运动的思路,我们构造了一类粒子模型,其涨落流体力学极限（记为 $p_t^\beta$）是该类方程的鞅问题的解。具体地,我们给出了粒子逼近的定量收敛速率,由此可识别出依赖于 $\beta$ 的唯一极限分布。随着逆温度升高,排斥相互作用的正则化效应变得更强。我们证明存在依赖于噪声的三个阈值 $0<\lambda_0\leq\lambda_1<\lambda_2$,使得当 $\beta>\lambda_0$ 时,$p_t^\beta$ 是 $\mathbb{P}(\mathbb{T})$ 中的非原子测度过程；当 $\beta>\lambda_1$ 时,$p_t^\beta$ 几乎必然关于 Lebesgue 测度绝对连续；当 $\beta>\lambda_2$ 时,$p_t^\beta$ 的 R\'enyi 熵的期望满足指数衰减估计。