硬币翻转随机游走及其缩放极限

设 $S$ 为由某序列 $\{p_n\}_{n\ge 1}$ 的“硬币翻转”得到的随机游走，如 [6] 中所引入。本文在经典 Donsker 不变原理的精神下，研究 $S$ 在加热与冷却两种动力学下的缩放极限。我们证明了一个不变原理（尽管带有非经典的缩放）对“不太小”的序列成立，其阈值为 const$\cdot n^{-1}$ 阶（临界冷却 regime）。在此临界阶及更小时，缩放行为与高于此阶时有显著不同。同一阶也是弱大数定律成立的临界阶。在临界冷却 regime 中，出现了一个有趣的过程：它是一个连续、分段线性、常返的过程，其一维边缘分布为 Beta 分布。我们还研究了该随机游走及其缩放极限的常返性，以及游走第 $n$ 步的遍历性与混合性。