条件避免有限集的随机游走桥的标度极限

本文研究起始于整数格上 $x$ 处且条件避免非空有限集 $A$ 的一维随机游走 $S^x_n$ 的标度极限，假设该随机游走是不可约的且均值为零。假设增量分布的方差 $\sigma^2$ 有限。给定正常数 $b$、$c$ 和 $T$，我们考虑缩放过程 $S^{b_N}_{[tN]}/\sigma\sqrt N$，$0\leq t \leq T$，其起始于点 $b_N \approx b\sqrt N$，条件为在 $t=T$ 时到达另一点 $\approx -c\sqrt N$ 且在此期间避免 $A$，并讨论当 $N\to\infty$ 时其泛函极限。我们证明，如果 $E[|S_1|^3; S_1<0] <\infty$，则它依分布收敛到一个连续过程。如果 $E[|S_1|^3; S_1<0] =\infty$，我们假设 $P[S_1<u]$ 在 $u\to -\infty$ 时正则变化且指数为 $-\beta$，$2\leq \beta\leq 3$，并证明如果 $\beta<3$，它收敛到一个具有一次扫过原点的向下跳跃的过程；在 $\beta=3$ 的情况下，产生与 $E[|S_1|^3; S_1<0] <\infty$ 情况相同的极限过程。在 $\sigma^2=\infty$ 的情况下，我们考虑 $S_1$ 属于指数为 $1<\alpha <2$ 且无负跳的稳定律吸引域的特殊情况，并获得类似的结果。