跨越地理屏障的基因流——带障碍随机游走的缩放极限

在本文中,我们研究一类随机游走的缩放极限,该类随机游走在原点附近有界区域之外表现得像简单随机游走,并在原点附近受到部分反射。若当我们以 $\sqrt{n}$ 缩放空间、以 $n$ 缩放时间时,跨越屏障的概率按 $1/\sqrt{n}$ 缩放,则我们得到一个非平凡的缩放极限:其在局部时间于原点达到一个独立的指数变量之前,表现得像反射布朗运动;随后其在原点另一侧遵循反射布朗运动,直到其在原点的局部时间达到另一个指数水平,依此类推。我们给出了该过程的鞅问题刻画以及另一种构造,并给出了其转移密度的显式公式。该结果在群体遗传学领域有应用,其中此类随机游走被用于追踪在存在基因流屏障时个体祖先在过去的位置。