具有几何面积倾斜的随机游走线系综的标度极限

我们考虑由硬壁约束的非相交随机游走的线系综，其中每条曲线由其下方的面积倾斜，且具有几何增长的前因子 $\mathfrak{b}^i$，其中 $\mathfrak{b}>1$。这是硬壁上方 $(2+1)$ 维 SOS 模型水平线的模型，而该模型本身模拟低温三维 Ising 界面。具有 $\mathfrak{b}=1$ 和固定曲线数的类似模型由 Ioffe、Velenik 和 Wachtel（2018）研究，他们推导了当时间区间 $[-N,N]$ 趋于无穷时的标度极限。具有几何面积倾斜（$\mathfrak{b}>1$）的 Brownian 桥线系综由 Caputo、Ioffe 和 Wachtel（2019）以及后来的 Dembo、Lubetzky 和 Zeitouni（2022）研究。他们的结果表明，当时间区间和曲线数 $n$ 趋于无穷时，前 $k$ 条路径收敛到极限测度 $\mu$。在本文中，我们解决了证明具有几何面积倾斜的随机游走系综标度极限存在这一开放问题。我们证明，在跳跃分布的温和假设下，在适当标度下，当 $N\to\infty$ 然后 $n\to\infty$ 时，前 $k$ 条路径收敛到相同的测度 $\mu$。我们分别在固定于 $\pm N$ 的桥和仅固定于 $-N$ 的游走两种情形下做到了这一点。