半平面 KPZ 线集和其缩放极限

对于每个 $\alpha \in \mathbb{R}$，$t \geq 1$，我们证明存在唯一的 $\mathbb{N}$ 指数的随机连续曲线集合 $\mathbb{R}_{\le 0} \to \mathbb{R}$，满足以下属性：(1) 最上方的曲线分布为时间-$t$ Cole--Hopf 半空间 KPZ 方程的解，采用窄楔初始条件和参数为 $\alpha$ 的 Neumann 边界条件。(2) 线集满足一种单向重抽样不变性，涉及带吸引势的软非相交布朗运动。我们称此对象为半空间 KPZ 线集。对于 $\alpha=\mu t^{-1/3}$（临界 regime）以及固定 $\alpha>0$（超临界 regime），我们证明半空间 KPZ 线集在 $t\to\infty$ 时在 1:2:3 KPZ 缩放下紧致。此外，所有子极限逼近抛物线并享有单向布朗 Gibbs 属性，由带边界两两相互作用的非相交布朗运动描述。在临界情况下，这与最近由 Dimitrov 和 Yang 构建的半空间 Airy 线集一致。在超临界情况下，我们展示了一种新结构，涉及两两固定的布朗运动，这是本文的主要技术贡献之一。