KPZ 线系综

对于每个 $t\geq 1$，我们构造了一个以 $\mathbf{N}$ 为索引的随机连续曲线系综，具有三个性质：1. 最低索引曲线的分布等同于具有窄楔初始数据的 Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) 随机偏微分方程在时间 $t$ 的 Hopf-Cole 解；2. 整个系综满足一种重采样不变性，我们称之为 $\mathbf{H}$-布朗吉布斯性质（其中 $\mathbf{H}(x)=e^{x}$）；3. 当时间 $t$ 趋于无穷大时，最低索引曲线的增量在垂直方向按 $t^{1/3}$ 缩放、水平方向按 $t^{2/3}$ 缩放并由 $-t/24$ 中心化后，相对于布朗桥保持一致绝对连续（即具有紧致的 Radon-Nikodym 导数）。该构造利用了以下输入：O'Connell 发现的与 O'Connell-Yor 半离散布朗聚合物相关的扩散过程、Nica 关于该扩散过程最低索引曲线收敛于具有窄楔初始数据的 KPZ 方程解的结果，以及 Amir-Corwin-Quastel 证明的具有窄楔初始数据的 KPZ 方程解的单点分布公式。我们提供了该构造的四个主要应用：1. 即使垂直方向按 $t^{1/3}$ 缩放、水平方向按 $t^{2/3}$ 缩放，具有窄楔初始数据的 KPZ 方程在时间 $t$ 的解仍具有（当 $t$ 趋于无穷大时）一致的布朗绝对连续性；2. 具有通用初始数据的 KPZ 方程解的 $t^{1/3}$ 单点（垂直）涨落标度的普适性；3. 连续定向随机聚合物端点在 $t^{2/3}$ 标度下的集中性；4. 具有通用初始数据的 KPZ 方程解在固定时间的指数型上下尾界。